Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) > 1000.\)

Hàm số mũ | Hàm số lũy thừa | Hàm số mũ và lũy thừa | hàm số loagrit | logarit |
Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) > 1000.\)
A. \(x > 1 + {9^{500}}\)
B. \(x > {2^{1000}} - 1\)
C. \(x >3001\)
D. \(1<x<3001\)

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {x + 1 > 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ \begin{array}{l} (x - 1)(x + 1) > 0\\ x + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\) (*).
Khi đó \({\log _3}({x^2} - 1) + {\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1) > 1000 \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} - 1) - {\log _3}(x + 1) > 1000\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} > 1000 \Leftrightarrow {\log _3}(x - 1) > 1000\\ \Leftrightarrow x - 1 > {3^{1000}} \Leftrightarrow x > 1 + {3^{1000}} \end{array}\)
Kết hợp với (*) ta được \(x > 1 + {3^{1000}}\) thỏa mãn, từ đó A là đáp án đúng vì:
\({9^{500}} = {\left( {{3^2}} \right)^{500}} = {3^{2.500}} = {3^{1000}}\)