Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right).\)

Hàm số mũ | Hàm số lũy thừa | Hàm số mũ và lũy thừa | hàm số loagrit | logarit |
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right).\)
A. 2<x<5
B. 1<x<2
C. 2<x<3
D. Đáp số khác

Điều kiện: \(5 > x > 2.\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) - 2{\log _{{2^2}}}(5 - x) < {\log _2}2 - {\log _2}(x - 2) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{x + 1}}{{5 - x}} < {\log _2}\frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{5 - x}} < \frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < 10 - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 3}\\ {x > 4} \end{array}} \right. \end{array}\)
Kết hợp điều kiện nghiệm của BPT là: \(2<x<3\)