Toán 12 Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là:

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là:
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}.\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}{e^{\frac{\pi }{6}}}.\)
C. 1
D. \(\frac{1}{2}{e^{\frac{\pi }{3}}}.\)

Ta có: \(y' = \left( {{e^x}\cos x} \right)' = {e^x}\left( {\cos x - \sin x} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}.\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 0 \right) = 1\\y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}\\y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} y = y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}.\)