Cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 5}}{2} = \frac{{y - 7}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và điểm \(I\left( {4;1;6} \right)\). Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tâm I tại hai điểm A, B sao cho \(AB = 6\). Phương trình của mặt cầu (S) là:
A. \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 18.\)
B. \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 12.\)
C. \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 16.\)
D. \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 9.\)
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của I trên d là trung điểm của $AB \Rightarrow HA = 3$
Ta có : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in d}\\{\overrightarrow {IH.} \overrightarrow a = 0}\end{array}} \right.$
$H \in d \Rightarrow H\left( { - 5 + 2t;7 - 2t;t} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {2t - 9;6 - 2t;t - 6} \right)$
$\overrightarrow {IH} .\overrightarrow a = 0 \Leftrightarrow t = 4 \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( { - 1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow IH = 3$.
Trong $\Delta IAH$vuông tại $H$có: $I{A^2} = I{H^2} + H{A^2} = 9 + 9 = 18$
Vậy $\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 18$.
Lựa chọn đáp án A.
A. \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 18.\)
B. \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 12.\)
C. \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 16.\)
D. \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 6)^2} = 9.\)
Hướng dẫn giải
$\overrightarrow a = \left( {2; - 2;1} \right)$là vectơ chỉ phương của d.Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của I trên d là trung điểm của $AB \Rightarrow HA = 3$
Ta có : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in d}\\{\overrightarrow {IH.} \overrightarrow a = 0}\end{array}} \right.$
$H \in d \Rightarrow H\left( { - 5 + 2t;7 - 2t;t} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {2t - 9;6 - 2t;t - 6} \right)$
$\overrightarrow {IH} .\overrightarrow a = 0 \Leftrightarrow t = 4 \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( { - 1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow IH = 3$.
Trong $\Delta IAH$vuông tại $H$có: $I{A^2} = I{H^2} + H{A^2} = 9 + 9 = 18$
Vậy $\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 18$.
Lựa chọn đáp án A.