Toán 12 Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Hàm Số Bậc 4|
Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D như hình vẽ bên. Biết rằng \(AB = BC = CD\), mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(a > 0,b < 0,c > 0,100{b^2} = 9ac\)
B. \(a > 0,b > 0,c > 0,0,9{b^2} = 100ac\)
C. \(a > 0,b < 0,c > 0,9{b^2} = 100ac\)
D. \(a > 0,b > 0,c > 0,100{b^2} = 9ac\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {a{x^4} + b{x^2} + c} \right) = + \infty \Rightarrow a > 0\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm như trong hình khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{a} > 0}\\{\frac{c}{a} > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b < 0}\\{c > 0}\end{array}} \right.\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm PT \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}}\\{x_A^2 = x_D^2 = {x_1}}\\{x_B^2 = x_C^2 = {x_2}}\end{array}} \right.\)
Ta có \(AB = BC = CD\), suy ra \({x_A} + {c_C} = 2{x_B} \Rightarrow - \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = - 2\sqrt {{x_2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x_1}} \)
\( = 3\sqrt {{x_2}} \Leftrightarrow {x_1} = 9{x_2}\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\\{{x_1} = 9{x_2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = - \frac{{9b}}{{10a}}}\\{{x_2} = - \frac{b}{{10a}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{{9{b^2}}}{{100{a^2}}} \Rightarrow 9{b^2} = 100ac\)
Suy ra \(a > 0,b < 0,c > 0,9{b^2} = 100ac.\)