Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=2a, BC=a, hình chiếu của S lên (ABCD) là trung điểm H của AD, \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{{16\pi {a^2}}}{3}\).
B. \(\frac{{16\pi {a^2}}}{9}\).
C. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{3}\).
D. \(\frac{{4\pi {a^2}}}{3}\).

Gọi I’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD.
O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD.
Đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Mặt phẳng qua I’ cắt trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD tại I.
Ta có I chính làm tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Dễ thấy OHI’I là hình chữ nhật.
Ta có \(SD = SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}} = a\) suy ra tam giác SAD đều.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I'A = \frac{2}{3}\frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a\\ \Rightarrow R = IA = \sqrt {I'{A^2} + I'{I^2}} = \sqrt {I'{A^2} + H{O^2}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} \end{array}\)
Vậy \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{16\pi {a^2}}}{3}.\)