Thí dụ 1. Giải và biện luận phương trình: (x-a)$^2$x$^2$ + a$^2$x$^2$ = 8(x-a)$^2$a$^2$, với a ≠ 0. (1)
x$^2$ + $\frac{{{a^2}{x^2}}}{{{{(x - a)}^2}}}$ = 8a$^2$ <=> ${\left( {x + \frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$-$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$ = 8a$^2$
<=> ${\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - a}}} \right)^2}$-$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$ = 8a$^2$. (2)
Đặt t = $\frac{{{x^2}}}{{x - a}}$, khi đó phương trình được chuyển về dạng: t$^2$ - 2at - 8a$^2$ = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}t = 4a\\t = - 2a\end{array} \right.$.
* Nhận xét:
1. Ở dạng ban đầu, ta không thấy sự xuất hiện ẩn phụ, tuy nhiên để làm xuất hiện ẩn phụ ta viết lại phương trình dưới dạng:
(x)$^2$ + ${\left( {\frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$ = 8a$^2$..
Ta đưa ra nhận xét cho 2 số hạng trong vế trái của phương trình trên đóng vai trò A$^2$ + B$^2 $của hằng đẳng thức (A ± B)$^2$.
Khi đó, ta có được 2 hướng biến đổi:
$\left[ \begin{array}{l}{A^2} + {B^2} = {(A - B)^2} + 2AB\,\,\,\,\,\,(h1)\\{A^2} + {B^2} = {(A + B)^2} - 2AB\,\,\,\,\,\,(h2)\end{array} \right.$.
Như vậy việc lựa chọn hướng biến đổi đại số đúng cho mỗi phương trình bậc bốn nói riêng và các phương trình, bất phương trình nói chung là rất quan trọng.
2. Phương trình trên trên có dạng tổng quát: x$^2$ + $\frac{{{a^2}{x^2}}}{{{{(x + a)}^2}}}$ = b.
Giải
Nhận xét rằng x = a ≠ 0 không phải là nghiệm của phương trình, khi đó chia cả hai vế của phương trình cho (x-a)$^2$ ≠ 0, ta được:x$^2$ + $\frac{{{a^2}{x^2}}}{{{{(x - a)}^2}}}$ = 8a$^2$ <=> ${\left( {x + \frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$-$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$ = 8a$^2$
<=> ${\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - a}}} \right)^2}$-$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$ = 8a$^2$. (2)
Đặt t = $\frac{{{x^2}}}{{x - a}}$, khi đó phương trình được chuyển về dạng: t$^2$ - 2at - 8a$^2$ = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}t = 4a\\t = - 2a\end{array} \right.$.
- Với t = 4a, ta được: $\frac{{{x^2}}}{{x - a}}$ = 4a <=> x$^2$-4ax + 4a$^2$ = 0 <=> x1 = 2a thoả mãn (*).
- Với t = -2a, ta được: $\frac{{{x^2}}}{{x - a}}$ = -2a <=> x$^2$ + 2ax - 2a$^2$ = 0 <=> x$_{2,3}$ = - a ± $\sqrt {3{a^2}} $ thoả mãn (*).
* Nhận xét:
1. Ở dạng ban đầu, ta không thấy sự xuất hiện ẩn phụ, tuy nhiên để làm xuất hiện ẩn phụ ta viết lại phương trình dưới dạng:
(x)$^2$ + ${\left( {\frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$ = 8a$^2$..
Ta đưa ra nhận xét cho 2 số hạng trong vế trái của phương trình trên đóng vai trò A$^2$ + B$^2 $của hằng đẳng thức (A ± B)$^2$.
Khi đó, ta có được 2 hướng biến đổi:
$\left[ \begin{array}{l}{A^2} + {B^2} = {(A - B)^2} + 2AB\,\,\,\,\,\,(h1)\\{A^2} + {B^2} = {(A + B)^2} - 2AB\,\,\,\,\,\,(h2)\end{array} \right.$.
- Nếu lựa chọn hướng thứ nhất: x$^2$ +${\left( {\frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$=${\left( {x - \frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$+$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$=${\left( {\frac{{{x^2} - 2ax}}{{x - a}}} \right)^2}$+$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$.
- Nếu lựa chọn hướng thứ hai: x$^2$ +${\left( {\frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$=${\left( {x + \frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$-$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$= ${\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - a}}} \right)^2}$-$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$.
Như vậy việc lựa chọn hướng biến đổi đại số đúng cho mỗi phương trình bậc bốn nói riêng và các phương trình, bất phương trình nói chung là rất quan trọng.
2. Phương trình trên trên có dạng tổng quát: x$^2$ + $\frac{{{a^2}{x^2}}}{{{{(x + a)}^2}}}$ = b.
Sửa lần cuối: