Thí dụ 1. Các cặp bất phương trình sau có tương đương không ? Vì sao ?
a. x$^2$ – 2 > x và x$^2$ > x + 2.
b. $x + \frac{1}{x} < 1 + \frac{1}{x}va \,x < 1$.
cộng 2 vào hai vế của bất phương trình, ta được: x$^2$ – 2 + 2 > x + 2 ⇔ x$^2$ > x + 2.
Vậy, hai bất phương trình đã cho tương đương.
b. Nhận xét rằng, số 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương trình đầu.
Vậy, hai bất phương trình đã cho không tương đương.
Thí dụ 2. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
a. 4x + 1 > 0 và 4x - 1 < 0.
b. $\sqrt {x - 1} $ ≥ x và (2x + 1)$\sqrt {x - 1} $ ≥ x(2x + 1).
Vậy, hai bất phương trình tương đương.
b. Ta có: $\sqrt {x - 1} $ ≥ x có tập xác định x ≥ 1 (1)
Với x ≥ 1 ⇒ 2x + 1 > 0 (2)
Nhân cả hai vế của (1) với (2), ta được: (2x + 1)$\sqrt {x - 1} $ ≥ x(2x + 1).
Vậy, hai bất phương trình tương đương.
Xem bản đầy đủ: Bất phương trình và bất đẳng thức
a. x$^2$ – 2 > x và x$^2$ > x + 2.
b. $x + \frac{1}{x} < 1 + \frac{1}{x}va \,x < 1$.
Giải
a. Với bất phương trình: x$^2$ – 2 > xcộng 2 vào hai vế của bất phương trình, ta được: x$^2$ – 2 + 2 > x + 2 ⇔ x$^2$ > x + 2.
Vậy, hai bất phương trình đã cho tương đương.
b. Nhận xét rằng, số 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương trình đầu.
Vậy, hai bất phương trình đã cho không tương đương.
Thí dụ 2. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
a. 4x + 1 > 0 và 4x - 1 < 0.
b. $\sqrt {x - 1} $ ≥ x và (2x + 1)$\sqrt {x - 1} $ ≥ x(2x + 1).
Giải
a. Ta có:- -4x + 1 > 0 ⇔ x < $\frac{1}{4}$. Tập nghiệm: T1 = $\left( { - \infty ;\frac{1}{4}} \right)$.
- 4x - 1 < 0 ⇔ x < $\frac{1}{4}$. Tập nghiệm: T2 = $\left( { - \infty ;\frac{1}{4}} \right)$.
Vậy, hai bất phương trình tương đương.
b. Ta có: $\sqrt {x - 1} $ ≥ x có tập xác định x ≥ 1 (1)
Với x ≥ 1 ⇒ 2x + 1 > 0 (2)
Nhân cả hai vế của (1) với (2), ta được: (2x + 1)$\sqrt {x - 1} $ ≥ x(2x + 1).
Vậy, hai bất phương trình tương đương.
Xem bản đầy đủ: Bất phương trình và bất đẳng thức
Sửa lần cuối: