Đối với phương trình bậc nhất 1 ẩn cũng có khá nhiều dạng toán, chúng ta sẽ tìm hiểu các dạng toán này và vận dụng giải các bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn từ đơn giản đến nâng cao qua bài viết này.
Biến đổi phương trình về dạng: ax = -b (1)
Khi đó:
Thí dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: m$^2$x + 6 = 4x + 3m.
Xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m$^2$ - 4 ≠ 0 <=> m ≠ ± 2. Khi đó: (*) <=> x = $\frac{{3m - 6}}{{{m^2} - 4}} = \frac{3}{{m + 2}}$
Trường hợp 2: Nếu m$^2$ - 4 = 0 <=> m = ± 2. Khi đó: (*) <=> $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }\\ {0.x = - 12{\mkern 1mu} \left( {vo\,ly} \right)} \end{array}} \right.$
Kết luận:
Viết lại phương trình dưới dạng: -(a + b)(x + a) + (a - b)(x - a) = 2 <=> -bx = a$^2$ + 1.
Khi đó:
Điều kiện để (*) có tập hợp nghiệm là $\mathbb{R}$ là: $\left\{ \begin{array}{l}{m^3} - 4m = 0\\2m + {m^2} = 0\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 0 hoặc m = -2 phương trình có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
Thí dụ 4. Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m$^2$(x-1) = 4x-3m + 2 với x > 0.
Phương trình có nghiệm với x > 0 điều kiện là: $\left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\\frac{{m - 1}}{{m + 2}} > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 2\end{array} \right.$.
Vậy, với m > 1 hoặc m < -2 phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện đề bài.
1. Phương trình một ẩn là gì?
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 (a ≠ 0).- Thông thường để giải phương trình này ta chuyển những đơn thức có chứa biến về một vế, những đơn thức không chứa biến về một vế: ax + b = 0 <=>ax = b
- Nếu là phương trình tích thì ta biến đổi như sau: A(x) . B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
2. Phương pháp
Áp dụng phương pháp giải bài toán- Với bài toán "Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn" chúng ta sử dụng kiến thức đã biết trong phần lý thuyết.
- Với bài toán "Tìm điều kiện để phương trình bậc nhất một ẩn có nghiệm thoả mãn điều kiện K" chúng ta thực hiện như sau:
Biến đổi phương trình về dạng: ax = -b (1)
Khi đó:
- Phương trình (1) có nghiệm duy nhất: <=> $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\x = - b/a \in D\end{array} \right.$.
- Phương trình (1) có nghiệm: <=> $\left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\x = - b/a \in D\end{array} \right.\end{array} \right.$.
- Phương trình (1) có nghiệm ∀x ∈ D thường ta có điều kiện a = b = 0.
- Phương trình ban đầu vô nghiệm: <=> $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\& \,\,b \ne 0\\\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\x = - b/a \notin D\end{array} \right.\end{array} \right.$.
3. Bài tập phương trình một ẩn
Những thí dụ từ căn bản tới nâng caoThí dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: m$^2$x + 6 = 4x + 3m.
Giải
Biến đổi phương trình về dạng: m$^2$x + 6 = 4x + 3m <=> (m$^2$ - 4)x = 3m - 6(*)Xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m$^2$ - 4 ≠ 0 <=> m ≠ ± 2. Khi đó: (*) <=> x = $\frac{{3m - 6}}{{{m^2} - 4}} = \frac{3}{{m + 2}}$
Trường hợp 2: Nếu m$^2$ - 4 = 0 <=> m = ± 2. Khi đó: (*) <=> $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }\\ {0.x = - 12{\mkern 1mu} \left( {vo\,ly} \right)} \end{array}} \right.$
Kết luận:
- Khi m ≠ ± 2, phương trình có nghiệm x = $\frac{3}{{m + 2}}$.
- Khi m = 2, phương trình vô số nghiệm.
- Khi m = - 2, phương trình vô nghiệm.
- Hệ số a ≠ 0 với mọi giá trị của tham số, khi đó ta kết luận ngay tính duy nhất nghiệm của phương trình.
- Hệ số a = 0 với mọi giá trị của tham số, khi đó ta biện luận cho b.
Giải
Điều kiện a ≠ ± b.Viết lại phương trình dưới dạng: -(a + b)(x + a) + (a - b)(x - a) = 2 <=> -bx = a$^2$ + 1.
Khi đó:
- Với b = 0, phương trình vô nghiệm.
- Với b ≠ 0, phương trình có nghiệm x = -$\frac{{{a^2} + 1}}{b}$.
Giải
Ta biến đổi phương trình về dạng: (m3 - 4m)x = m$^2$ + 2m. (*)Điều kiện để (*) có tập hợp nghiệm là $\mathbb{R}$ là: $\left\{ \begin{array}{l}{m^3} - 4m = 0\\2m + {m^2} = 0\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 0 hoặc m = -2 phương trình có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
Thí dụ 4. Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m$^2$(x-1) = 4x-3m + 2 với x > 0.
Giải
Ta biến đổi phương trình về dạng: (m$^2$ – 4)x = m$^2$ – 3m + 2 <=> (m – 2)(m + 2)x = (m – 2)(m - 1).Phương trình có nghiệm với x > 0 điều kiện là: $\left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\\frac{{m - 1}}{{m + 2}} > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 2\end{array} \right.$.
Vậy, với m > 1 hoặc m < -2 phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện đề bài.
Sửa lần cuối: