Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều cạnh chung BC = 2

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều cạnh chung BC = 2. Cho biết mặt bên (DBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc \(2\alpha \) mà \(\cos 2\alpha = - \frac{1}{3}\). Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
A. O là trung điểm của AB.
B. O là trung điểm của AD.
C. O là trung điểm của BD.
D. O thuộc mặt phẳng (ADB).

Gọi M là trung điểm cạnh BC.
Vì ABC và DBC là 2 tam giác đều bằng nhau nên 2 trung truyến AM và DM cùng vuông góc với BC và \(AM = DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Trong \(\Delta MA{\rm{D}}\):
\(A{{\rm{D}}^2} = A{M^2} + D{M^2} - 2AM.DM.\cos 2\alpha \)
\( \Rightarrow AD = 2.2.\frac{{3{a^2}}}{4} - 2.\frac{{3{a^2}}}{4}.\frac{1}{3} = 2{a^2}\)
Ta có: \(B{A^2} + B{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = A{D^2}\)
\( \Rightarrow ABD = {90^0}\)
Tương tự: \(C{A^2} + C{D^2} = A{D^2}\)
\( \Rightarrow ACD = {90^0}\)
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O là trung điểm cạnh AD.