Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 3}} {{{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^4}x}}dx} = {a \over b}\sqrt c \), trong đó \({a \over

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 3}} {{{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^4}x}}dx} = {a \over b}\sqrt c \), trong đó \({a \over b}\) tối giản và \(a,b,c \in N\). Vậy tích \(abc\) gần bằng giá trị nào nhất?
A. 211
B. 121
C. 20
D. 50

Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \({1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\)
Đặt ẩn phụ \(t = \tan x\)
Lời giải chi tiết:
\({{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^4}x}} = {{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}}.{1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right).{1 \over {{{\cos }^2}x}}\)
Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\) , đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr x = {\pi \over 3} \Rightarrow t = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{t^2}\left( {{t^2} + 1} \right)dt} = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^4} + {t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {{{{t^5}} \over 5} + {{{t^3}} \over 3}} \right)} \right|_0^{\sqrt 3 } = {{9\sqrt 3 } \over 5} + \sqrt 3 = {{14} \over 5}\sqrt 3 \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 14 \hfill \cr b = 5 \hfill \cr c = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow abc = 210\)
Chọn A.