Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=3a, AB=4a

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=3a, AB=4a. Cho tam giác này quay quanh đường thẳng BC, tính thể tích V của khối tròn xoay thu được.
A. \(V = \frac{{84\pi {a^2}}}{{15}}\)
B. \(V = \frac{{120\pi {a^2}}}{{27}}\)
C. \(V = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}\)
D. \(V = \frac{{84\pi {a^2}}}{{25}}\)

Kẻ đường cao AH của ∆ABC khi quay quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC sinh ra hai khối nón chung đáy, bán kính đáy là R = AH và chiều cao lần lượt là HB và HC.
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Suy ra \(A{H^2} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Thể tích khối tròn xoay sinh ra là:
\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.\left( {HB + HC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{{144{a^2}}}{{25}}.5a = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}.\)
\(\left( {HB + HC = BC = 5a} \right).\)