Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = \frac{{2\left( {z +

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = \frac{{2\left( {z + i} \right)}}{{i - 1}} - 2iz.\) Tính \(S = ab.\)
A. \(S = \frac{1}{9}.\)
B. \(S = \frac{1}{{27}}.\)
C. \(S = \frac{5}{9}.\)
D. \(S = \frac{5}{{27}}.\)

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right).\)
Ta có: \(\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = \overline z = a - bi\) và \(\frac{2}{{i - 1}} = - 1 - i,\) khi đó giả thiết trở thành:
\(\overline z + \left( {1 + i} \right)\left( {z + i} \right) + 2iz = 0 \Leftrightarrow \overline z + \left( {3i + 1} \right)z = 1 - i \Leftrightarrow a - bi + \left( {3i + 1} \right)\left( {a + bi} \right) = 1 - i\)
\( \Leftrightarrow 2{\rm{a}} - 3b + 3{\rm{a}}i = 1 - i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} - 3b = 1\\3{\rm{a}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = - \frac{1}{3} \Rightarrow b = - \frac{5}{9} \Rightarrow S = \frac{5}{{27}}.\)