Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' đáy hình có cạnh bằng a, đường chéo AC' tạo với mặt bên (BCC'B') một góc \(\alpha\) \(\left( {0

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' đáy hình có cạnh bằng a, đường chéo AC' tạo với mặt bên (BCC'B') một góc \(\alpha\) \(\left( {0 < \alpha < {{45}^0}} \right).\) Tính thể tích V của lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D'.
A. \(V = {a^3}\sqrt {{{\cot }^2}\alpha + 1} .\)
B. \(V = {a^3}\sqrt {{{\tan }^2}\alpha - 1} .\)
C. \(V = {a^3}\sqrt {\cos 2\alpha } .\)
D. \(V = {a^3}\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} .\)

Ta có \(\widehat {AC'B} = \alpha.\).
Tam giác ABC' vuông tại B và: \(\widehat {AC'B} = \alpha \Rightarrow BC' = \frac{a}{{\tan \alpha }} = a\cot \alpha .\)
Áp dụng định lý Pytago thì: \(CC' = \sqrt {BC{'^2} - B{C^2}} = a\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} .\)
Thể tích khối lăng trụ \(V = BC.CD.CC' = {a^3}\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} .\)