Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. E là trung điểm của B’C’, CB’ cắt BE tại M. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCM biết \(AB = 3a,AA' = 6a.\)
A. \(V = 6{a^3}\)
B. \(V = 6\sqrt 2 {a^3}\)
C. \(V = 8{a^3}\)
D. \(V = 7{a^3}\)

Ta có \(CB = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 3a\sqrt 2 \)
Gọi O là giao điểm của B’C va BC’.
Khi đó: \(CM = CO + OM = \frac{1}{2}CB' + \frac{1}{3}OB' = \frac{1}{2}CB' + \frac{1}{2}.\frac{1}{3}CB' = \frac{2}{3}CB'\)
Ta kẻ MH vuông góc với CB. Khi đó
\(\Delta CHM \sim \Delta CBB' \Rightarrow \frac{{HM}}{{BB'}} = \frac{{CM}}{{CB'}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HM = \frac{2}{3}BB' = 4a\)
Diện tích tam giacs CMB là: \({S_{\Delta CMB}} = \frac{1}{2}CB.HM = \frac{1}{2}.3a.\sqrt 2 .4a = 6{a^2}\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow {V_{A.BCM}} = \frac{1}{3}.AB.{S_{\Delta CMB}} = \frac{1}{3}.3a.6{a^2}\sqrt 2 = 6{a^3}\sqrt 2 .\)