Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên (d) lấy điểm

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Tìm khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).
A. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3}}{2}\)
C. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = a\)
D. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SI.{S_{ABCD}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)
Áp dụng pitago ta có:
\(D{I^2} = A{I^2} + A{D^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\),\(S{A^2} = S{I^2} + A{I^2} = {a^2}\) ,\(S{D^2} = S{I^2} + D{I^2} = 2{a^2}\)
\(S{D^2} = S{A^2} + D{A^2} \Rightarrow \Delta SAD\) vuông tại A nên: \({S_{\Delta SAD}} = \frac{1}{2}AD.{\rm{SA}} = \frac{1}{2}{a^2}\)
Vậy khoảng cách cần tìm là: \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{3{V_{SACD}}}}{{{S_{\Delta SAD}}}} = \frac{{3{V_{SABCD}}}}{{2{S_{\Delta SAD}}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)