Cho hình thang (H) giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{x},x = \frac{1}{2},x = 2\) và trục hoành

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Cho hình thang (H) giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{x},x = \frac{1}{2},x = 2\) và trục hoành. Đường thẳng \(x = k\left( {\frac{1}{2} < k < 2} \right)\) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả các giá trị thực của k để S1 = 3S2.

A. \(k = \sqrt 2 .\)
B. \(k = 1.\)
C. \(k = \frac{7}{5}.\)
D. \(k = \sqrt 3 .\)

Gọi S là diện tích hình \(\left( H \right) \Rightarrow S = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}dx} = 2\ln 2.\)
Lại có \({S_2} = \int\limits_k^2 {\frac{1}{x}dx} = \ln 2 - lnk = \frac{1}{4}S = \frac{{\ln 2}}{2} \Rightarrow \ln k = \frac{{\ln 2}}{2} = \ln \sqrt 2 \Rightarrow k = \sqrt 2 .\)