Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB=a

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB=a, đường thẳng AB′ tạo với mặt phẳng (BCC′B′) một góc \(30^0\). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. \(V = \frac{3}{4}{a^3}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)
C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\)
D. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\)

ọi I là trung điểm của đoạn BC \(\Rightarrow AI \bot (BB'C'C)\)
Vậy \(\widehat {AB'I} = {30^0}.\)
Trong tam giác \(AB'I:B'I = AI.\cot {30^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{{3a}}{2}.\)
Trong tam giác \(B'BI:BB' = \sqrt {B'{I^2} - B{I^2}} = \sqrt {\frac{9}{4}{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2 .\)
Vậy thể tích lăng trụ là: \(V = {S_{ABC}}.BB' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}.\)