Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ điểm A tới (A’BC) bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. \(V = {a^3}\)
B. \(V = 3{a^3}\)
C. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
D. \(V = \frac{{4{a^3}}}{3}\)

Gọi H là trung điểm của BC, kẻ \(AK \bot A'H\)
\(\left\{ \begin{array}{l} AK \bot A'H\\ AK \bot BC\,(Do\,BC \bot (A'AH) \end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {A'BC} \right)\)nên \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AK\)
Ta có \(AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 ,AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Từ hệ thức \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{AA{'^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow AA' = a\sqrt 3\)
Thể tích hình cần tính là \(V = a\sqrt 3 .\frac{1}{2}.\sqrt 3 a.2a = 3{a^3}\)