Cho hình lăng trụ ABCD.A' B' C' D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình lăng trụ ABCD.A' B' C' D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^0\). Đỉnh A’ cách đều các đỉnh A,B,C,D. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)
D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\)

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Từ giả thiết A’ cách đều các đỉnh A, B, C, D ta suy ra hình chiếu của A’ trên mặt phẳng ABCD là O hay A’O là đường cao của khối lăng trụ.
Trong tam giác A’OA vuông tại A và \(\widehat {A'OA} = {60^0},\) suy ra:
\(A'O = OA.\tan {60^0} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)
Diện tích đáy ABCD là \({S_{ACDD}} = {a^2}.\)
Thể tích của khối lăng trụ là \(V = S.h = {S_{ABCD}}.A'O = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Vậy \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)