Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA'C'C) tạo với đáy một góc bằng \(45^0\). Tính thể tích V của khối lăng trụ.
A. \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{3{a^3}}}{{32}}\)
B. \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{3{a^3}}}{{16}}\)
C. \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{3{a^3}}}{4}\)
D. \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{3{a^3}}}{8}\)

Gọi H là trung điểm \(AB{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}A'H \bot \left( {ABC} \right)\)
Vẽ \(HK\perp AC\) tại K (1)
Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l} AC \bot HK\\ AC \bot A'H \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (A'HK) \Rightarrow A'K \bot AC\) (2)
(1) (2) suy ra: \(\widehat {\left( {(AA'C'C);(ABC)} \right)} = \widehat {A'KH{\rm{ }}} = {\rm{ }}45^\circ\)
\(\begin{array}{l} AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2};HK = AH.sin60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow A'H = HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \end{array}\)
Vậy: \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}}}{{16}}.\