Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của đỉnh A’ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh BC. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’M với mặt phẳng (ABC) bằng \(60^0\). Tính thể tích V của khối lăng trụ.
A. \(V = \frac{{3{a^3}}}{8}.\)
B. \(V = \frac{{3{a^3}}}{4}.\)
C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)
D. \(V = \frac{{{a^3}}}{8}.\)

Ta có MH là hình chiếu của A’M trên (ABC).
Suy ra \(\widehat {\left( {{A^'}M,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {{A^'}M,MH} \right)} = \widehat {{A^'}MH} = {60^o}.\)
Xét tam giác A’MH vuông tại H, có \(\tan \widehat {A'MH} = \frac{{A'H}}{{MH}} \Rightarrow A'H = \tan {60^o}\frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{8}.\)