Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = k\). Xác định k sao cho mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
A. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}\)
B. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
C. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\)
D. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)

Vì BC//AD nên mặt phẳng (BMC) cắt (SAD) theo đoạn thẳng MN//AD (N thuộc SD).
\(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.BMC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = k \Rightarrow {V_{S.MBC}} = k.{V_{S.ABC}} = \frac{k}{2}.{V_{S.ABCD}}\\ \frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}} = {k^2} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = {k^2}.{V_{S.ADC}} = \frac{{{k^2}}}{2}.{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.MBCN}} = \left( {\frac{k}{2} + \frac{{{k^2}}}{2}} \right).{V_{S.ABCD}} \end{array}\)
Để mặt phẳng (BMNC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau thì:
\(\frac{k}{2} + \frac{{{k^2}}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {k^2} + k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}(Do\,k > 0)\)