Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAC); (SBD) cùng vuông góc với đáy

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAC); (SBD) cùng vuông góc với đáy, AB=a; AD=2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng \(a\sqrt 2\) . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. \(V = \frac{4}{3}{a^3}\)
B. \(V = 3{a^3}\)
C. \(V = \frac{1}{3}{a^3}\)
D. \(V = \frac{2}{3}{a^3}\)

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo của đáy của hình chóp
Theo bài ra ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\ {\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)} \end{array}}\\ {SA = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
\(AB//DC \Rightarrow d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right)\)
Ta có \(\frac{{d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{DB}}{{DO}} = 2\) nên \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Kẻ \(OH \bot CD,OK \bot SH\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} OK \bot SH\\ OK \bot CD\,(Do\,CD \bot \left( {SOH} \right)) \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow OK = d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Áp dụng hệ thực lượng vào tam giác SOH vuông tại O ta có \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} \Rightarrow SO = a\)
Thể tích hình cần tính là \(V = \frac{1}{3}a.a.2a = \frac{2}{3}{a^3}\)