Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Biết thể tích

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\frac{{{a^3}}}{3}\). Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBE) theo a.
A. \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(h = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
C. \(h = \frac{{a}}{3}\)
D. \(h = \frac{{2a}}{3}\)

ABCD là hình vuông cạnh a, có E là trung điểm cạnh CD và F là trung điểm cạnh BC thì AF vuông góc và bằng BE. Gọi O là giao điểm của BE và AF.
Đồng thời dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông ABF có BO là đường cao tính được \(AO = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\)
SA vuông góc (ABCD) nên BE vuông góc SA
Mà BE vuông góc AF nên \(BE \bot \left( {SAO} \right)\)
Kẻ AH vuông góc với SO
Vì \(AH \in \left( {SAO} \right) \Rightarrow AH \bot BE\left( {BE \bot \left( {SAO} \right)} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {SBE} \right)\)
Ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{day}} = \frac{1}{3}SA.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3} \Rightarrow SA = a\)
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{3}\)