Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình thoi tâm I có cạnh bằng a, \(BAD = {60^0}\). Gọi H là trung điểm của IB và SH vuông góc với

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình thoi tâm I có cạnh bằng a, \(BAD = {60^0}\). Gọi H là trung điểm của IB và SH vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Góc giữa SC và ABCD bằng 450. Tính thể tích của khối chóp S.AHCD.
A. \(V=\frac{{\sqrt {35} }}{{32}}{a^3}\)
B. \(V=\frac{{\sqrt {39} }}{{24}}{a^3}\)
C. \(V=\frac{{\sqrt {39} }}{{32}}{a^3}\)
D. \(V=\frac{{\sqrt {35} }}{{24}}{a^3}\)

Nhìn vào hình thì dễ nhận ra hai khối chóp S.ABCD và S.AHCD có chung chiều cao nên ta chỉ cần so sánh 2 diện tích đáy.
Ta có: \(\frac{{{S_{AHCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{2{S_{AHD}}}}{{2{S_{ABCD}}}} = \frac{{2.\frac{3}{4}{S_{BCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = 2.\frac{3}{4}.\frac{1}{2} = \frac{3}{4}\)
Suy ra:\({V_{SAHCD}} = \frac{3}{4}{V_{SABCD}}\)
Mặt khác: ta có \(BAD = {60^0} \Rightarrow\) tam giác ABD đều, nên \(AB = BD = AD = a \Rightarrow IH = \frac{a}{4}\).
Khi đó: \(HC = \sqrt {I{H^2} + I{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).
Do \(SCH = {45^0}\) nên tam giác SCH vuông cân tại H.
Nên: \(SH = HC = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\)
\(\Rightarrow {V_{SAHCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}}.\frac{3}{4} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {13} }}{4}.a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{3}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {39} }}{{32}}\)