Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh x

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh x, \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {60^o},\) gọi \(I = AC \cap B{\rm{D}}.\) Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là H sao cho H là trung điểm của BI. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng \({45^o}.\) Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD bằng:
A. \(\frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{{12}}.\)
B. \(\frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{{24}}.\)
C. \(\frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{{36}}.\)
D. \(\frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{{48}}.\)

Ta có: \(\widehat {SCH} = {45^o}.\) Dễ thấy tam giác ABD đều, khi đó:
\(\begin{array}{l}AI = IC = \frac{{x\sqrt 3 }}{2};\,\,{S_{ABC{\rm{D}}}} = 2{{\rm{S}}_{AB{\rm{D}}}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}.\\IH = \frac{1}{4}B{\rm{D}} = \frac{x}{4}\,\,suy\,\,ra\,\,HC = \sqrt {I{H^2} + I{C^2}} = \frac{{x\sqrt {13} }}{4}.\\Suy\,\,ra\,\,SH = HC = \frac{{x\sqrt {13} }}{4} \Rightarrow V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{{24}}.\end{array}\)