Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a\)

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a\). Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ACD.
A. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}}}{3}\)
B. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}}}{2}\)
C. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
D. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 .\)
Kẻ \(CI \bot AD\,(I \in AD) \Rightarrow CI = ID = a \Rightarrow CD = \sqrt {C{I^2} + I{D^2}} = a\sqrt 2\)
Xét tam giác ACD có:
\(CA = CD = a\sqrt 2 ,AD = 2a\) nên ACD vuông cân tại C.
Suy ra \({S_{\Delta ACD}} = {a^2}.\)
Gọi H là trung điểm của AB vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \({S_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).