Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AB=BC=a và AD=4a. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S nằm trong mặt

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AB=BC=a và AD=4a. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD). Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC).
A. \(d = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(d = \frac{{4a\sqrt 5 }}{5}\)
C. \(d = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
D. \(d = 4a\sqrt 3\)

Tam giác SAB vuông ở S nên H là trung điểm của AB, \(SH \bot (ABCD)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}\\ S{A^2} + S{B^2} = A{B^2} = {a^2} \end{array} \right. \Rightarrow SA = SB = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow SH = \frac{a}{2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \\ SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\\ SA = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \end{array}\)
Dễ thấy: \(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\)
Nên SAC vuông tại S.
\(\begin{array}{l} {S_{SAC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{5{a^2}}}{2} = \frac{{5{a^2}}}{{12}} = V\\ {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{{{a^2}}}{{12}} = {V_1}\\ \Rightarrow {V_{S.ACD}} = V - {V_1} = \frac{{{a^3}}}{3} = \frac{1}{3}.d\left( {D,(SAC)} \right).{S_{SAC}}\\ \Rightarrow d\left( {D,(SAC)} \right) = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3} \end{array}\)