Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính tỉ số \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}}\)?

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính tỉ số \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}}\)?
A. \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{1}{2}\)
B. \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{1}{8}\)
C. \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{1}{6}\)
D. \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{1}{4}\)

Nhận thấy hai khối chóp A.MNS và A.BCS có chung chiều cao từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC), do đó ta chỉ đi so sánh diện tích của hai đáy SMN và SBC.
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SBC, do đó \(MN = \frac{1}{{2BC}}\) .
Khi đó áp dụng định lý Ta-let ta có \(\frac{{d\left( {S;MN} \right)}}{{d\left( {S;BC} \right)}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra: \(\frac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SBC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}MN.d(S,MN)}}{{\frac{1}{2}.BC.d(S,BC)}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
Khi đó \(\frac{{{V_{A.MNS}}}}{{{V_{A.BSC}}}} = \frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SBAC}}}} = \frac{1}{4}\).