Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC=a

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC=a, tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. \(V=\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\)
B. \(V=\sqrt 3 {a^3}\)
C. \(V=\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)
D. \(V=\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{8}\)

Gọi H là trung điểm của BC vì tam giác SBC là tam giác đều nên ta có \(SH \bot BC \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Ta lại có \(SH \bot BC,\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\), \(BC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Tam giác ABC vuông cân tại A và có cạnh \(BC = a\) nên \(AB = AC = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)
\(\Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4}\)
Vậy thể tích hình cần tính là
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)