Gọi H, M lần lượt là trung điểm BC,SA.
G là trọng tâm tam giác ABC.
Đường thẳng qua G vuông góc với (ABC) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mặt phẳng trung trực của SA qua M cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại I.
Ta có I chính làm tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
Dễ thấy GAMI là hình chữ nhật.
Ta có \(\left[ {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right] = \left( {\widehat {SH,AH}} \right) = \widehat {SHA} = 60^\circ\)
Tam giác ABC đều, cạnh bằng 1\(\Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = AH\tan 60^\circ = \frac{3}{2}\)
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
\({R^2} = I{A^2} = I{G^2} + A{G^2} = {\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}AH} \right)^2} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{{43}}{{48}}\)
Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \cdot \frac{{43}}{{48}} = \frac{{43\pi }}{{12}}\).
