Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB = 3a\), \(BC = 4a\), \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\), \(SB = 2a\sqrt 3 \), \(\widehat {SBC} = {30^ \circ }\). Thể tích của \(S.ABC\) là:
A. \(2{a^3}\sqrt 3 \).
B. \(\frac{2}{3}{a^3}\sqrt 3 \).
C. \(3{a^3}\sqrt 3 \).
D. \(\frac{1}{3}{a^3}\sqrt 3 \).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) kẻ \(SH \bot BC\) tại \(H\).
Do \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Vậy:
\(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}SB.\sin \widehat {SBH}.\frac{1}{2}.BA.BC\\ = \frac{1}{3}2a\sqrt 3 .\sin {30^ \circ }.\frac{1}{2}.3a.4a = 2{a^3}\sqrt 3 \end{array}\).