Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình tam giác vuông cân tại B và SA vuông với (ABC)

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình tam giác vuông cân tại B và SA vuông với (ABC). Biết \(AC = 3a\sqrt 2 \) và góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \(45^0\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. \(V = \frac{{9{a^3}}}{2}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\)
C. \(V = \frac{{27{a^3}}}{2}\)
D. \(V = 27{a^3}\)
Xem thêm Công thức tính diện tích tam giác vuông

Ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow 2A{B^2} = A{C^2} \Leftrightarrow 2A{B^2} = {\left( {3a\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow AB = 3a\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot (SAB) \Rightarrow SB \bot BC\)
Mặt khác: \(AB \bot BC\)
Suy ra góc giữa (SBC) và (ABC) là \(\widehat {SBA} = {45^0}.\)
Nên tam giác SAB vuông cân tại A.
\( \Rightarrow SA = AB = 3a\)
Thể tích của khối chóp S.ABC là: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.3a.\frac{1}{2}{\left( {3a} \right)^2} = \frac{{9{a^3}}}{2}\)