Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC; góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Tính thể tích V khối chóp S.ABC.
A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
C. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó ta có \(AM\perp BC\) (vì là tam giác đều)
Mặt khác ta lại có \(SM\perp BC\) (vì \(\Delta SAB=\Delta SAC\))
Suy ra góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là \(\widehat{SMA}=30^0\)
Xét \(\Delta ABC\) ta có \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Diện tích \(\Delta ABC\) là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AM = \frac{1}{2}.a. \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Xét \(\Delta SAM\) ta có \(SA = AM.\tan \widehat {SMA} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\tan {30^0} = \frac{a}{2}\)
Thể tích khối chóp S.ABC là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}. \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)