Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD.
A. \({S_{xq}} = \pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)
B. \({S_{xq}} = \pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
C. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
D. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{6}}\)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ACBD} \right).\)
Suy ra, OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mp(ABCD)
Do đó, \(\widehat {SBO} = {60^0}\). Kết hợp \(r = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) ta suy ra:
\(h = SO = OB.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
\(l = SB = \frac{{OB}}{{\cos {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2.\cos {{60}^0}}} = a\sqrt 2\)
Diện tích xung quanh của mặt nón: \({S_{xq}} = \pi .r.l = \pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = \pi {a^2}.\)
Thể tích hình nón: \(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}\pi \frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)