Toán 12 Cho hàm số y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Hàm Số Phân Thức|
Cho hàm số y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}.
Xét các phát biểu sau:
(1) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là
(2) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
(3) Hàm số đồng biến trên tập xác định
(4) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ
Những phát biểu nào sai?
A. (2); (4)
B. (1)
C. (3)
D. (1); (3)

TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right);\left( {1; + \infty } \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} {x_1} = 0 \in \left( { - \infty ;1} \right) \Rightarrow y({x_1}) = 2\\ {x_2} = 2 \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow y({x_2}) = 0 \end{array}\)
Suy ra: hàm số không đồng biến trên \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\)
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (2;0).
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;2).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } = 1,\) suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=1.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} = - \infty ,\) suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1.
Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ; 1) là tâm đối xứng.