Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = g\left( x \right) = xf\left( {{x^2}} \right)\)

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = g\left( x \right) = xf\left( {{x^2}} \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) như hình vẽ bên. Biết phần diện tích miền được tô màu là \(S = \frac{5}{2},\) tính tích phân \(I = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)

A. \(I = \frac{5}{2}.\)
B. \(I = \frac{5}{4}.\)
C. \(I = 10.\)
D. \(I = 5.\)

\(\int\limits_1^2 {g\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{5}{2} \Rightarrow \int\limits_1^2 {xf\left( {{x^2}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{5}{2}.\)
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2{\rm{xdx}}\).
Đổi cận suy ra: \(\int\limits_1^2 {xf\left( {{x^2}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt} = \frac{5}{2} \Rightarrow \int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt = } 5 \Rightarrow I = 5.\)