Toán 12 Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}}\) có đồ thị (C)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Tiệm Cận|
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}}\) có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị (C) có một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=\sqrt2\) và không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị (C) có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=\sqrt2\) và một tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
C. Đồ thị (C) có hai tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=\sqrt2\) ; \(x=-\sqrt2\) và một tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
D. Đồ thị (C) có hai tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=\sqrt2\) ; \(x=-\sqrt2\) và không có tiệm cận ngang.

Ta có \({x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt 2 }\\ {x = - \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = + \infty\);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ - }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = - \infty\) \(\Rightarrow x = \sqrt 2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = + \infty \Rightarrow x = - \sqrt 2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{{{x^2}}} - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{{{x^2}}} - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0\) \(\Rightarrow y = 0\) là một tiệm cận ngang của đồ thì hàm số.