Toán 12 Cho hàm số \(y = \cos x + \sqrt {1 - {{\cos }^2}x}\) có giá trị lớn nhất là ...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Cho hàm số \(y = \cos x + \sqrt {1 - {{\cos }^2}x}\) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Tính \(S=M+m\)
A. \(S = 1 + \sqrt 2\)
B. \(S = \sqrt 2\)
C. \(S = \sqrt 2-1\)
D. \(S = \frac{\sqrt 2}{2}-1\)

Đặt \(t = \cos x \in [ - 1;1],\) khi đó \(f(t) = t + \sqrt {1 - {t^2}} \Rightarrow f'(t) = 1 - \frac{t}{{\sqrt {1 - {t^2}} }};f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Tính các giá trị \(f( - 1) = - 1,f(1) = 1,f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 .\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} M = \sqrt 2 \\ m = 0 \end{array} \right. \Rightarrow M + m = \sqrt 2 - 1.\)