Toán 12 Cho hàm số sau: \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Hàm Số Phân Thức|
Cho hàm số sau: \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\), những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng?
(1) : Hàm số luôn nghịch biến trên D= R\{3}.
(2) : Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là x=1; 1 tiệm cận ngang là y =3.
(3) : Hàm số đã cho không có cực trị.
(4): Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(3;1) của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
A. (1),(3),(4).
B. (3),(4).
C. (2),(3),(4).
D. (1), (4).

(1) : Ở mệnh đề này, sẽ có sai lầm như sau:
TXĐ: D = R \{3}
Vì \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D.
Ta có:
+ Với \({x_1} = - 1\) thì \(y\left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{2}\).
+ Với \({x_2} = 4\) thì \(y({x_2}) = 3\).
Dễ thấy \({x_1} < {x_2}\) và \({y_1} < {y_2}\) .
Vậy hàm số không nghịch biến trên D = R \{3}.
Đúng là: Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;3);\,\,(3; + \infty )\) .
(2)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\) => đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} = - \infty \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} = + \infty\)=> đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy mệnh đề này là sai.
(3) Đây là mệnh đề đúng. Hàm phân thức bậc nhất không có cực trị.
(4). Từ việc phân tích mệnh đề (2) ta suy ra được mệnh đề (4) này là mệnh đề đúng.
Vậy đáp án đúng của chúng ta là B. (3), (4).