Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(f\left( {2\tan x} \right)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(f\left( {2\tan x} \right) = 2m + 1\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)?
A. \( - 1 \le m \le \dfrac{1}{2}\).
B. \( - 1 < m < \dfrac{1}{2}\).
C. \(m \le 1\).
D. \( - 1 < m < 1\).

Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = 2\tan x\), tìm khoảng giá trị của t ứng với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).
- Số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 2m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = 2\tan x\), với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\tan x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;2} \right)\).
Khi đó phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = 2m + 1\), số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 2m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.
Quan sát BBT trên khoảng (0;2), ta thấy, phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 < 2m + 1 < 3 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\).
Chọn D.