Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và Ox xung quanh trục Ox.

A. \(\frac{{16\pi }}{{15}}.\)
B. \(\frac{{16\pi }}{5}.\)
C. \(\frac{{12\pi }}{{15}}.\)
D. \(\frac{{4\pi }}{3}.\)

Gọi phương trình hàm số bậc hai là \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + b{\rm{x}} + c\) có đồ thị (P).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (P) đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;1} \right),B\left( {2;0} \right).\)
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 1\\4{\rm{a}} + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y = f\left( x \right) = 2{\rm{x}} - {x^2}\)
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2{\rm{x}} - {x^2}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \frac{{16\pi }}{{15}}.\)