Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a, vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a. Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng bao nhiêu?
A. \({S_{xq}} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\pi {a^2}}}{2}.\)
B. \({S_{xq}} = \frac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\pi {a^2}}}{2}.\)
C. \({S_{xq}} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\pi {a^2}}}{2}.\)
D. \({S_{xq}} = \frac{{3\sqrt 2 \pi {a^2}}}{2}.\)

Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên một mặt tròn xoay.
Diện tích mặt tròn xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH và BH.
Ta có \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=a\sqrt{3}\)
\(HK=\frac{AH.BH}{AB}=\frac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH là \(S_1=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{3}=\frac{3a^2\pi }{2}\)
Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh BH là \(S_2=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{\sqrt{3}a^2\pi }{2}\)
Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là \(S=S_1+S_2=\frac{(3+\sqrt{3})a^2\pi }{2}\).