Toán 12 Cho (C) là đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Hàm Số Phân Thức|
Cho (C) là đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\). Tìm các điểm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
A. (1;1)
B. \(\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right);\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\)
C. \(\left( {1 - \sqrt 3 ;\frac{{5 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {1 + \sqrt 3 ;\frac{{5 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\)
D. \(\left( {1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)\)

Hàm số: \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)
Đồ thị hàm số có TCN đường thẳng y=1, TCĐ là đường thẳng x=2.
Gọi điểm \(C\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)\)
Theo bài ra ta có khoảng cách từ C đến 2 đường tiệm cận là
\(\begin{array}{l} d = \left| {{x_0} - 2} \right| + \left| {{y_0} - 1} \right| = \left| {{x_0} - 2} \right| + \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}} - 2} \right|\\ = \left| {{x_0} - 2} \right| + \left| {\frac{3}{{{x_0} - 2}}} \right| \ge 2\sqrt 3 \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left| {{x_0} - 2} \right| = \left| {\frac{3}{{{x_0} - 2}}} \right| \Rightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2 + \sqrt 3 \\ {x_0} = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Vậy chọn B.