Cho biết d cắt (S) tại hai điểm M, N. Tính độ dài đoạn thẳng MN

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là \(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{2},{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 18 = 0\). Cho biết d cắt (S) tại hai điểm M, N. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
A. \(MN = \frac{{\sqrt {30} }}{3}\)
B. \(MN = 8\)
C. \(MN =\frac{16}{3}\)
D. \(MN = \frac{20}{3}\)

Phương trình tham số của d: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 - t\\ y = 2t\\ z = - 1 + 2t \end{array} \right.\)
Thay vào phương trình mặt cầu (S) tìm được: \(t = - 2,\,t = \frac{2}{9}.\)
Suy ra giao điểm của d và (S) là: \(M\left( { - 1; - 4; - 5} \right),N\left( { - \frac{{29}}{9};\frac{4}{9}; - \frac{5}{9}} \right) \Rightarrow MN = \frac{{20}}{3}.\)