Đặt \(t = {5^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\) thì BPT trở thành: \({t^2} - \left( {2m + 5} \right)t + {m^2} + 5m > 0\,\,\,\left( 2 \right)\)
Khi đó xét hàm số: \(f\left( t \right) = {t^2} - \left( {2m + 5} \right)t + {m^2} + 5m.\)
Ta có: \(a = 1 > 0\) và \(\Delta = {\left( {2m + 5} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + 5m} \right) = 25 > 0\) nên \(f\left( t \right) = 0\) có hai nghiệm \({t_1} < {t_2}.\)
Từ đó suy ra \(f\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow t \in \left( { - \infty ;{t_1}} \right) \cup \left( {{t_2}; + \infty } \right).\)
BPT (1) đúng với mọi số x thuộc \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi BPT (2) nghiệm đúng với mọi t dương:\( \Leftrightarrow {t_1} < {t_2} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m \ge 0\\2m + 5 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 5.\)
