Cho 0 < a < b < 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hàm số mũ | Hàm số lũy thừa | Hàm số mũ và lũy thừa | hàm số loagrit | logarit |
Cho \(0 < a < b < 1\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({\log _b}a > {\log _a}b.\)
B. \({\log _a}b < 0.\)
C. \({\log _b}a < {\log _a}b.\)
D. \({\log _a}b > 1.\)

Do \(0 < a < 1\) nên hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Đáp án B sai, vì: Với \(b < 1 \Rightarrow {\log _a}b > {\log _a}1 \Leftrightarrow {\log _a}b > 0\).
Đáp án D sai, vì: Với \(a < b \Rightarrow {\log _a}a > {\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}b < 1\).
Với \(0 < a < b < 1\) ta có \(0 < {\log _a}b < 1\).
Đáp án C sai, vì: Nếu \({\log _b}a < {\log _a}b \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < {\log _a}b \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} > 1\) (vô lí).
Đáp án A đúng, vì: Nếu \({\log _b}a > {\log _a}b \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} > {\log _a}b \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} < 1\) (luôn đúng).