Biết rằng $\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+…+\dfrac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\dfrac{a{{n}^{2}}+bn}{c{{n}^{2}}+dn+16}$, trong

Biết rằng $\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+…+\dfrac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\dfrac{a{{n}^{2}}+bn}{c{{n}^{2}}+dn+16}$, trong đó $a,b,c,d$ và $n$ là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $T=\left( a+c \right)\left( b+d \right)$. là :
C. $T=75$.
B. $T=364$.
C. $T=300$.
D. $T=256$.

Đáp án C.
Phân tích phần tử đại diện, ta có: $\dfrac{1}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{k\left( k+1 \right)}-\dfrac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \right]$.
Suy ra: $\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+…+\dfrac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}$
$=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-.\dfrac{1}{3.4}+…+\dfrac{1}{n\left( n+1 \right)}-\dfrac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right]$
$=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right]$=$\dfrac{{{n}^{2}}+3n}{4{{n}^{2}}+12n+8}=\dfrac{2{{n}^{2}}+6n}{8{{n}^{2}}+24n+16}$.
Đối chiếu với hệ số, ta được: $a=2;b=6;c=8;d=24$.
Suy ra: $T=\left( a+c \right)\left( b+d \right)=300$.