Toán 12 Biết rằng các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đường cong...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Tiệm Cận|
Biết rằng các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đường cong \(\left( C \right):y = \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}}\) và trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 16.
B. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 8.
C. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12.
D. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 4.

Xét hàm số \(y = \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}}\)
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right];\left[ {1; + \infty } \right)/\left\{ 4 \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {4^ + }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {4^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 - \frac{1}{x} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} = 6\)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 - \frac{1}{x} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} = 4\)
Vậy đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là \(x = 4,y = 4,y = 6\) như hình vẽ bên. Khi đó (H) là vùng được tô màu, là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12.